学习函数

函数的概念及表示法

1. 函数的定义: 给定两个非空集合 AAA 和 BBB，如果按照某种对应法则 fff ，对于集合 AAA 中的每一个元素 xxx，在集合 BBB 中有唯一确定的元素 yyy 与之对应，则称 fff 是从 AAA 到 BBB 的一个函数，记作 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 或 f:A→Bf: A \rightarrow Bf:A→B。
2. 表示法:
   • 解析法: 通过公式表示，例如 y=x2y = x^2y=x2。
   • 图像法: 函数在平面直角坐标系中的图形表示。
   • 列表法: 将函数的自变量与对应的函数值列表表示。
   • 映射法: 使用集合之间的映射关系表示函数。

函数的性质

1. 有界性:
   • 定义: 如果存在一个常数 MMM，使得对于所有 xxx 属于定义域，∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M∣f(x)∣≤M，则称函数 f(x)f(x)f(x) 是有界的；否则为无界的。
2. 单调性:
   • 定义: 如果对于定义域内的任意两个 x1,x2x_1, x_2x1​,x2​ ( x1<x2x_1 < x_2x1​<x2​ )，有 f(x1)≤f(x2)f(x_1) \leq f(x_2)f(x1​)≤f(x2​)，则称函数 f(x)f(x)f(x) 在其定义域上是单调递增的；如果 f(x1)≥f(x2)f(x_1) \geq f(x_2)f(x1​)≥f(x2​)，则称为单调递减的。
3. 周期性:
   • 定义: 如果存在一个非零常数 TTT，使得对于定义域内的任意 xxx 都有 f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x)，则称 f(x)f(x)f(x) 是周期函数，TTT 称为该函数的周期。
4. 奇偶性:
   • 奇函数: 如果对于定义域内的任意 xxx，都有 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)，则 f(x)f(x)f(x) 是奇函数。
   • 偶函数: 如果对于定义域内的任意 xxx，都有 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)，则 f(x)f(x)f(x) 是偶函数。

函数的特殊类型

1. 复合函数: 如果 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 和 z=f(y)z = f(y)z=f(y)，则复合函数 z=f(g(x))z = f(g(x))z=f(g(x))。
2. 反函数: 若 f:A→Bf: A \rightarrow Bf:A→B 为双射函数，则其反函数 f−1:B→Af^{-1}: B \rightarrow Af−1:B→A 满足 f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y)) = yf(f−1(y))=y 和 f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x。
3. 分段函数: 定义域被分成若干部分，每部分上由不同的表达式定义函数。例如： f(x)={x2x≥0−xx<0f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}f(x)={x2−x​x≥0x<0​
4. 隐函数: 由方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0F(x,y)=0 定义的函数 yyy 为隐函数。

基本初等函数的性质及其图形

1. 幂函数: f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn，图像为抛物线或直线。
2. 指数函数: f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax，当 a>1a > 1a>1 时递增，当 0<a<10 < a < 10<a<1 时递减。
3. 对数函数: f(x)=log⁡axf(x) = \log_a xf(x)=loga​x，当 a>1a > 1a>1 时递增，当 0<a<10 < a < 10<a<1 时递减。
4. 三角函数: f(x)=sin⁡x,cos⁡x,tan⁡xf(x) = \sin x, \cos x, \tan xf(x)=sinx,cosx,tanx 等，具有周期性。
5. 反三角函数: f(x)=arcsin⁡x,arccos⁡x,arctan⁡xf(x) = \arcsin x, \arccos x, \arctan xf(x)=arcsinx,arccosx,arctanx，它们是三角函数的反函数。
6. 双曲函数: f(x)=sinh⁡x,cosh⁡xf(x) = \sinh x, \cosh xf(x)=sinhx,coshx 等。

初等函数

• 定义: 初等函数包括基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）及通过有限次四则运算、复合、反函数和分段运算得到的函数。

函数关系的建立

• 根据问题情境通过公式、表格、图形等形式建立函数关系。

数列极限与函数极限的定义及其性质

1. 数列极限:
   • 若数列 {an}\{a_n\}{an​} 对于任意的 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，存在正整数 NNN，使得当 n>Nn > Nn>N 时，∣an−A∣<ϵ|a_n – A| < \epsilon∣an​−A∣<ϵ，则称 AAA 为数列的极限，记作 lim⁡n→∞an=A\lim_{n \to \infty} a_n = Alimn→∞​an​=A。
2. 函数极限:
   • 若对于任意的 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，存在 δ>0\delta > 0δ>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x – x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，∣f(x)−A∣<ϵ|f(x) – A| < \epsilon∣f(x)−A∣<ϵ，则称 AAA 为函数 f(x)f(x)f(x) 当 xxx 趋近于 x0x_0x0​ 时的极限，记作 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A。

函数的左极限和右极限

• 左极限: lim⁡x→x0−f(x)\lim_{x \to x_0^-} f(x)limx→x0−​​f(x) 表示当 xxx 从左侧趋近 x0x_0x0​ 时 f(x)f(x)f(x) 的极限。
• 右极限: lim⁡x→x0+f(x)\lim_{x \to x_0^+} f(x)limx→x0+​​f(x) 表示当 xxx 从右侧趋近 x0x_0x0​ 时 f(x)f(x)f(x) 的极限。

无穷小量和无穷大量的比较

1. 无穷小量: 当 x→x0x \to x_0x→x0​ 时，如果 lim⁡x→x0f(x)=0\lim_{x \to x_0} f(x) = 0limx→x0​​f(x)=0，则称 f(x)f(x)f(x) 为无穷小量。
2. 无穷大量: 当 x→x0x \to x_0x→x0​ 时，如果 lim⁡x→x0f(x)=∞\lim_{x \to x_0} f(x) = \inftylimx→x0​​f(x)=∞ 或 −∞-\infty−∞，则称 f(x)f(x)f(x) 为无穷大量。
3. 比较: 若 lim⁡x→x0f(x)g(x)=0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0limx→x0​​g(x)f(x)​=0，则 f(x)f(x)f(x) 为 g(x)g(x)g(x) 的高阶无穷小。

极限的四则运算

• 如果 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A 和 lim⁡x→x0g(x)=B\lim_{x \to x_0} g(x) = Blimx→x0​​g(x)=B 存在，则：
  • 加法: lim⁡x→x0[f(x)+g(x)]=A+B\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = A + Blimx→x0​​[f(x)+g(x)]=A+B
  • 减法: lim⁡x→x0[f(x)−g(x)]=A−B\lim_{x \to x_0} [f(x) – g(x)] = A – Blimx→x0​​[f(x)−g(x)]=A−B
  • 乘法: lim⁡x→x0[f(x)⋅g(x)]=A⋅B\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot Blimx→x0​​[f(x)⋅g(x)]=A⋅B
  • 除法: lim⁡x→x0[f(x)g(x)]=AB\lim_{x \to x_0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}limx→x0​​[g(x)f(x)​]=BA​ （前提是 B≠0B \neq 0B=0）

极限存在的两个准则

1. 单调有界准则: 若数列 {an}\{a_n\}{an​} 单调且有界，则极限存在。
2. 夹逼准则: 若数列 {an},{bn},{cn}\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}{an​},{bn​},{cn​} 满足 an≤bn≤cna_n \leq b_n \leq c_nan​≤bn​≤cn​ 且 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞cn=A\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = Alimn→∞​an​=limn→∞​cn​=A，则 lim⁡n→∞bn=A\lim_{n \to \infty} b_n = Alimn→∞​bn​=A。

两个重要极限

1. lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1limx→0​xsinx​=1
2. lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = elimx→∞​(1+x1​)x=e

函数连续的概念

• 定义: 函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 连续是指 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)。

函数间断点的类型

1. 第一类间断点:
   • 可去间断点: lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0​​f(x) 存在，但不等于 f(x0)f(x_0)f(x0​) 或 f(x0)f(x_0)f(x0​) 未定义。
   • 跳跃间断点: 左极限和右极限均存在，但不相等。
2. 第二类间断点: 左极限或右极限不存在，或发散到无穷大。

初等函数的连续性

• 初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）在其定义域内都是连续的。

闭区间上连续函数的性质

1. 最大值最小值定理: 闭区间上连续函数在该区间上一定能取到最大值和最小值。
2. 介值定理: 如果函数 f(x)f(x)f(x) 在闭区间上连续，那么对于区间上的任意值 yyy 介于 f(a)f(a)f(a) 和 f(b)f(b)f(b) 之间，存在 c∈(a,b)c \in (a, b)c∈(a,b) 使得 f(c)=yf(c) = yf(c)=y。